Hei acolo! Sunt un furnizor deSemi-axȘi astăzi vreau să vorbesc despre cum să calculez semi-axa unei elipse folosind geometria coordonată. S -ar putea să pară un pic tehnic la început, dar ai încredere în mine, nu este atât de complicat pe cât pare.
Ce este o elipsă?
Înainte de a ne scufunda în calcule, să trecem repede peste ceea ce este o elipsă. O elipsă este o curbă închisă într -un plan în care suma distanțelor de la orice punct de pe curbă până la două puncte fixe (numite focare) este constantă. Te poți gândi la el ca la un cerc struguit. Are două axe: axa principală, care este cel mai lung diametru al elipsei și axa minoră, care este cel mai scurt diametru. Axa semi -majoră (A) și axa semi -minoră (B) sunt jumătate din axele majore și, respectiv, minore.
Ecuația standard a unei elipse
Ecuația standard a unei elipse centrată la originea ((0,0)) din planul de coordonate vine în două forme în funcție de orientarea sa.
Elipsă orizontală
Dacă axa principală este de -a lungul axei x - ecuația standard a elipsei este (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), unde (a> b> 0). Aici, (a) este axa semi -majoră și (b) este axa semi -minoră.
Elipsă verticală
Dacă axa principală este de -a lungul axei y, ecuația standard este (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), unde (a> b> 0). Din nou, (a) este axa semi -majoră și (b) este axa semi -minoră.
Calcularea semi -axelor din ecuație
Să zicem că aveți ecuația unei elipse. De exemplu, luați în considerare ecuația (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1). Deoarece numitorul de sub (x^{2}) este mai mare ((25> 9)), axa principală este de -a lungul axei x.
Știm că forma standard a unei elipse orizontale este (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1). Comparând (\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1) Cu forma standard, putem vedea că (a^{2} = 25) și (b^{2} = 9).
Pentru a găsi (a) și (b), luăm rădăcina pătrată a valorilor respective. Deci, (a = \ sqrt {25} = 5) și (b = \ sqrt {9} = 3). Aici, (a = 5) este axa semi -majoră și (b = 3) este axa semi -minoră.
Dacă am avut o ecuație ca (\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1), deoarece numitorul sub (y^{2}) este mai mare ((16> 4)), axa majoră este de -a lungul axei y.
Comparând cu forma standard (\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1), avem (b^{2} = 4) și (a^{2} = 16). Luând rădăcinile pătrate, obținem (b = 2) și (a = 4). Deci, axa semi -majoră (A = 4) și axa semi -minoră (b = 2).
Calcularea semi -axelor din punctele de pe elipsă
Uneori, s -ar putea să nu vi se ofere direct ecuația elipsei, ci mai degrabă câteva puncte pe elipsă. Să presupunem că avem o elipsă centrată la origine și știm două puncte ((x_1, y_1)) și ((x_2, y_2)) pe elipsă.
Pentru o elipse orizontală (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), dacă înlocuim punctele ((x_1, y_1)) și ((x_2, y_2)) în ecuație, am obținut două ecuații: ((x_2, y_2))
(\ frac {x_ {1}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {1}^{2}} {b^{2}} = 1) și (\ frac {x_ {2}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {2}^{2}} {b^{2}} = 1)
Let (u = \ frac {1} {a^{2}}) și (v = \ frac {1} {b^{2}}). Atunci ecuațiile devin (x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1) și (x_ {2}^{2} u + y_ {2}^{2} v = 1)
Putem rezolva acest sistem de ecuații liniare pentru (u) și (v) folosind metode precum substituție sau eliminare. Odată ce avem (u) și (v), putem găsi (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) și (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}})
De exemplu, dacă avem punctele ((3,0)) și ((0,2)) pe elipsă.
Înlocuire ((3,0)) în (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), obținem (\ frac {3^{2}} {a^{2}}+\ frac {0^{2}} {b^{2}} = 1), care simplifică la (\ frac {9} {a^{2}} = 1), SO (a^{2} = 9) și (a = 3)
Înlocuire ((0,2)) în (\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1), obținem (\ frac {0^{2}} {a^{2}}+\ frac {2^{2}} {b^{2}} = 1), care simplifică la (\ frac {4} {b^{2}} = 1), deci (b^{2} = 4) și (b = 2)
Aplicații în viața reală
Calculul semi -axelor unei elipse are multe aplicații reale de viață. În astronomie, orbitele planetelor din jurul soarelui sunt eliptice. Calculând semi -axele acestor orbite, astronomii pot prezice poziția planetelor în momente diferite.
În inginerie, formele eliptice sunt utilizate în proiectarea structurilor precum arcade și cupole. Cunoașterea semi -axelor ajută la determinarea dimensiunilor și rezistenței acestor structuri.
De ce să ne alegem semi -axele?
Ca aSemi-axFurnizor, înțelegem importanța componentelor de înaltă calitate. Semi -axele noastre sunt fabricate din materiale de sus - crestături, asigurând durabilitatea și precizia. De asemenea, oferim o gamă largă de dimensiuni pentru a răspunde nevoilor dvs. specifice.
Indiferent dacă lucrați la un proiect la scară mică sau la o aplicație industrială mare, semi -axele noastre sunt în funcție de sarcină. Și dacă aveți nevoie și de componente conexe, furnizăm șiAnsamblu de viteză inelarăcare sunt concepute pentru a funcționa perfect cu semi -axele noastre.
Dacă sunteți interesat de produsele noastre, ne -ar plăcea să discutăm cu dvs. despre cerințele dvs. Simțiți -vă liber să vă întindeți și să începeți o discuție de achiziții. Suntem aici pentru a vă asigura că veți obține cele mai bune componente pentru proiectele dvs.
Referințe
- Anton, Howard. "Calcul: transcendentale timpurii." Wiley, 2012.
- Larson, Ron. "Calcul." Cengage Learning, 2018.